POTTER, Michael; Set Theory and its Philosophy. A critical Introduction, Oxford University, Oxford, 2006, 345 pp.

por Carlos Ortiz de Landázuri

Teoría de clases y su filosofía reconstruye el impacto que el Proyecto nueva fundamentación a partir de elementos originarios de Aczael, Barwise y Etchemendy tuvo en el modo tradicional de formalizar los conjuntos o clases, que el mismo había seguido en su anterior publicación de 1990, Clases. Una Introducción (Oxford University). En efecto, a lo largo de estos quince años la lógica formal progresivamente ha dejado de articularse alrededor de la noción de conjunto o clase, siguiendo el modelo axiomático-formal – según el cual “si una estructura satisface un axioma, entonces también satisface el teorema”. En su lugar ha pasado a ocupar este lugar central la noción indefinible y extra-primitiva de nivel, fruto a su vez de una determinada historia (p. 41, Scott, 1974, y Derrick), suscitando a su vez un gran número de problemas filosóficos que anteriormente habían quedado desatendidos. En efecto, el axioma del esquema permitió la construcción de un determinado lenguaje objeto a partir de su respectiva base de aplicación, pudiendo justificar la elaboración de una formula bien formada a partir de un sólo elemento, si se dispone de un procedimiento para ajustarlo en su respectivo sistema formal.

Posteriormente se aplicó esta misma relación de nivel al resto de las categorías matemáticas, con un resultado un tanto sorprendente, a saber: se atribuyó a los conjuntos o clases un esquema o modo de operar dialéctico, capaz de tener en cuenta desde un principio los problemas generados por sus posteriores aplicaciones prácticas, sin depositar una confianza ciega en el desarrollo de un formalismo de tipo axiomático. En vez de pretender evitar la aparición de las paradojas lógicas estableciendo axiomáticamente las propiedades o requisitos de los conjuntos o clases, como puede ser la deductibilidad, la completitud y la decidibilidad, se siguió un procedimiento distinto, a saber: formalizar las relaciones entre niveles de rango distinto que ahora se establecen entre un formalismo lógico y su respectiva base de aplicación, justificando de este modo la deductibilidad, completitud y decidibilidad del sistema formal resultante, sin justificarlas a partir de un mismo esquema deductivo previo. Evidentemente en estos casos la jerarquización entre la base de aplicación, el lenguaje objeto y los sucesivos metalenguajes, o entre los elementos formalizados, los subconjuntos y los metaconjuntos, así como las diversas categorías extramatemáticas, matemáticas y metamatématicas, sigue generando el mismo tipo de paradojas, que ya aparecieron en Frege, Russell, Gödel, Burali-Forti, etc., aunque ahora se dispone de un procedimiento heurístico capaz de desactivarlas, a saber: otorgar una prioridad a la formalización de los distintos elementos individuales o descripciones definidas,  que a su vez entran a formar parte de un conjunto o clase, ya sea para dar lugar a una lógica de clases de primer orden o de segundo orden, sin hacerlas depender de la aceptación inicial de una metateoría de las categorías matemáticas plenamente axiomatizada.

Michael Potter analiza desde esta nueva perspectiva diversos problemas heredados por la lógica de conjuntos o clases, a saber: 1) Colecciones desactiva el poder destructivo de las paradojas lógicas mediante la localización de un nivel metateórico superior con categorías metamatemáticas más complejas, que permite denunciar la extensión indefinida de determinados casos límite; al menos a esta conclusión llegó la lógica intuicionista de Dummett cuando criticó la vaguedad e indeterminación de las propiedades autoproductivas e indefinidamente extensivas de Russell (p.30); 2) Construcción contrapone dos modos de concebir las jerarquías existentes entre los conjuntos o clases, según se les aplique una estrategia regresiva que les exige mantener unas dependencias recíprocas de tipo constructivo, metafísico o simplemente axiomático; o, por el contrario, según se les aplique una estrategia intuitiva de relación entre niveles, siguiendo el consiguiente esquema de separación y de un primer principio de plenitud, para pasar a ser tomados como conjuntos bien fundados respecto de su correspondiente base de aplicación; al menos a esta conclusión llegó la crítica del sentido de Wittgenstein cuando rechazó la indeterminación de la axiomática formal de la teoría jerárquica de niveles de lenguaje de Russell; 3) La teoría de conjuntos o clases justifica los límites constructivos de la jerarquía de niveles en virtud de un segundo principio de plenitud, exigiendo la formalización inicial de al menos un elemento bien formado de su correspondiente base de aplicación, justificando así la aparición de un conjunto vacío, la división de un conjunto dado o la creación de nuevos niveles derivados, con su correspondiente conjunto potencia, sin recurrir ya a un principio de coherencia, o a una simple posibilidad lógica, al modo como ocurrió en aquellos otros presupuestos metafísicos o axiomáticos de tipo platónico. Se justifica así el papel desempeñado por el par ordenado de elementos individuales, las relaciones entre conjuntos o clases, las funciones, el axioma del infinito o las estructuras isomórficas entre dos o más conjuntos. En definitiva este proyecto de ‘nueva fundamentación’ sólo pretende resolver los problemas de numeración contable que presenta la base de aplicación de los conjuntos o clases, sin pretender extrapolarlos más allá de los límites inherentes a su peculiar esquema dialéctico de argumentación.

Michael Potter aplica este esquema dialéctico al análisis de las tres partes en que habitualmente se divide la lógica de conjuntos o clases, a saber: 1) Los números, que a su vez son el fundamento de la aritmética, de la contabilidad, de las líneas geométricas y de los números reales; 2) Los cardinales y los ordinales, ya sean finitos, transfinitos o infinitos, mediante su correspondiente aritmética básica; 3) Otros axiomas referidos a los tipos de infinito, al axioma de elección o a otros tipos de números cardinales. Además se añaden tres apéndices referidos a la axiomatización tradicional, a las clases, y a la distinción entre conjunto y clase. Pero es precisamente aquí donde surge el interrogante. Parece que estos proyectos de nueva fundamentación se conforman con dar una respuesta a los debates habituales de la lógica de conjuntos o clases, sin abrirse a otros desarrollos alternativos que mientras tanto se han vuelto habituales, como hoy día sucede con los desarrollos actuales de la lógica de la vaguedad y con los cálculos de la lógica borrosa o fuzzy. Sus propuestas han experimentado en estos últimos veinte años un auge extraordinario, plateando retos de fundamentación y de justificación muy acusados, que ahora tampoco se tienen en cuenta. No parecen despertar excesivo interés por parte de los filósofos de las matemáticas, cuando podrían servir de un magnífico banco de pruebas de lo ajustado de sus propuestas.

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