PETERS, S.; WESTERSTÄHL, D., Quantifiers in Language and Logic, Clarendon, Oxford University, Oxford, 2006, 528 pp.

Carlos Ortiz de Landázuri

Cuantificadores en el lenguaje y la lógica, aplica el proyecto ´Nueva fundamentación a partir de elementos primitivos (Urelements)’ de Barwise y Moss al modo de justificar la contabilidad efectiva usada por el lenguaje natural, convencional o matemático para reconocer sus respectivos ámbitos de definición e indefinición a través una aplicación empírica concreta. En efecto, según Peters y Westerstähl, la efectiva articulación de los múltiples cuantificadores de segundo orden (como los operadores ‘más’ o ‘menos’ de tantos, la ‘mitad’ de tantos, la ‘mayor parte’, ‘siempre’, ‘a menudo’, ‘raramente’, así como otras formas de cuantificación encubierta, requieren la previa justificación funcional de un orden compositivo natural a partir de dos cuantificadores primitivos de la lógica de predicados de primer orden, especialmente el cuantificador existencial (‘algún o al menos uno’) y el universal (‘todos’ o ‘cualquier’), al modo como en su día ya fue señalado por Aristóteles y Frege, aunque con una salvedad: en vez de recurrir a las leyes de subalternación entre proposiciones del silogismo aristotélico o a las tablas analíticas de verdad de la lógica de proposiciones para la resolución de este tipo de problemas, ahora la teoría de modelos de la lógica contemporánea ha localizado un procedimiento de decisión aún más básico, a saber: las técnicas semánticas y sintácticas con que Ehrenfeucht-Fraïsse prolongó algunas sugerencias de Ramsey y Hempel, a fin de garantizar la definibilidad o indefinibilidad de los distintos operadores cuantificacionales en un determinado ámbito de aplicación, en la medida que les atribuyen unas relaciones cuantitativas de bisimilitud y de inter-cambiabilidad o equivalencia respecto a una base de aplicación empírica, sin necesidad de recurrir a las tablas analíticas de verdad de la lógica proposicional, como hasta entonces había sido habitual. Además, ahora este tipo de propuestas se enmarcan dentro del proyecto ´Nueva fundamentación a partir de elementos primitivos (Urelements)’ de Barwise y Moss, que precisamente define a cada uno de estos elementos primitivos del sistema en virtud de la operatividad práctica que en cada caso se demuestra. De este modo los operadores cuantificacionales se conciben al modo de unos elementos primitivos (Urelements), ya que aportan un lenguaje natural cuantificado inherente a  los lenguajes lógico-matemáticos y a los lenguajes meramente convencionales, según se resalten en cada caso los rasgos más globales de tipo sistemático o los rasgos casuísticos de tipo local.

Precisamente la novedad de esta nueva formalización de los operadores cuantificacionales consiste en ampliar el uso meramente lógico que de ellos hizo Aristóteles, o el uso estrictamente funcionalista de Frege, para atribuirles una función contable muy precisa respecto de los presupuestos metateóricos, metalingüísticos y metamatemáticos que a su vez consagran la definibilidad o indefinibilidad de estos mismos operadores cuentificacionales. A este respecto Peters y Westerstähl rechazan el tratamiento excesivamente rígido dado por el superevaluacionismo epistémico a la vaguedad de los conceptos, al modo como ya Keefe había señalado en Williamson (47-48), a pesar de que tampoco trata de resolver la polémica sobre si se debe atribuir a estos operadores un carácter sincategoremático o categoremático, analítico o sintético, sintáctico o semántico, lógico o también lingüístico. En cualquier caso la  teoría de modelos ya no prejuzga la validez de un supervaluacionismo epistemológico excesivamente rígido que exige la referencia obligada a un concepto de superverdad y una ulterior aplicación excesivamente estricta de un principio de bivalencia. En su lugar más bien se fomenta un uso pragmático de estos operadores cuantificacionales a fin de poder armonizar el lenguaje natural, convencional y lógico-matemático respecto de su correspondiente base empírica, admitiendo otros usos aún más diversificados y polivalentes de estos mismos principios, sin necesidad de modificar los postulados teóricos del anterior supervalucionismo epistemológico.

A este respecto la monografía sigue una estrategia muy precisa para mostrar las propiedades metateóricas, metalingüísticas y metalógicas que se deben atribuir a este tipo de operadores cuantificacionales desde un punto de vista natural, convencional y lógico-matemático, sin por ello cuestionar otros aspectos de estos operadores que aún siguen siendo profundamente polémicos.  Se justifica así el peculiar isomorfismo y la amplitud creciente o decreciente del modo monotónico o no-monotónico habitualmente seguido para restringir la extensión de cada uno de estos operadores cuantificacionales, a fin de garantizar las relaciones de bisimilitud que pretenden mantener con su respectiva base empírica. Se justifica así la aparición de diversas relaciones de determinación e indeterminación, de concreción o vaguedad, de universalidad estricta o simplemente contextual, a fin de separar las peculiaridades de estos tres órdenes distintos pero complementarios de los modelos de cuantificación propios del lenguaje natural, a saber: a) la cuantificación semántica de primer orden; b) la cuantificación sintántica, analíticamente componible y bidireccional o de segundo orden, en la que preferentemente se fijó Aristóteles; y c) la cuantificación ramificada o funcional que la lógica contemporánea ha desarrollado a partir de Frege, tratando de resaltar las diferencias existentes entre estos tres usos posibles de los cuantificadores operacionales e interrelacionándolos recíprocamente entre sí. Se resalta así la capacidad de justificar el isomorfismo y la bisimilitud creciente que estos operadores cuantificacionales mantienen respecto de su correspondiente campo de aplicación. Pero a la vez también se justifica la posibilidad de intercambiarlos mediante relaciones contables de amplitud y extensión cada vez mayor, interrelacionando supuestos de valor recíprocamente equivalente. El usuario del lenguaje natural lograría así una mayor capacidad de decisión a la hora de precisar la definibilidad o indefinibilidad de estos mismos operadores, en la medida que también serían capaces de justificar las relaciones de equivalencia y de bisimilitud que a su vez mantienen entre sí y con la correspondiente base empírica. Sin embargo ahora también se reconoce un gran número de cuestiones polémicas que siguen rodeando a la naturaleza intrínseca de este tipo de operadores cuantificacionales. Especialmente si se debe atribuir a este tipo de operadores de un carácter estrictamente sintáctico, lógico y estrictamente sincategoremático, o más bien un valor semántico y con un significado claramente categoremático, defendiendo finalmente la intrínseca componibilidad de ambos puntos de vista.

Para alcanzar estas conclusiones la monografía se divide en cuatro partes y quince capítulos: a) Las concepción lógica de los cuantificadores y de la cuantificación analiza dos aspectos de la posición heredada sobre el tema: 1) Breve historia de la cuantificación analiza la evolución del problema desde Aristóteles, Peirce, Russell y Frege, así como por la posterior teoría de modelos; 2) La emergencia de un tratamiento generalizado de los cuantificadores en la lógica moderna analiza el análisis semántico, sintáctico o ramificado, analíticamente componible y funcional de este tipo de operadores cuantificacionales;

b) Cuantificadores del lenguaje natural analiza específicamente la emergencia de otros rasgos aún más básicos de este tipo de lenguaje, a saber; 3) Los cuantificadores tipo 1 (semántico) del lenguaje natural y lógico describe el isomorfismo de los operadores cuantificacionales respecto de su correspondiente base de aplicación empírica, así como su ulterior extrapolación a una extensión de supuestos analíticamente equivalentes; 4) Los cuantificadores tipo 1, 1 (sintáctico) del lenguaje natural contrapone estos operadores respecto a su anterior uso semántico, comprobando la aplicación de un álgebra de Boole, así como la posibilidad de relativizarlos respecto de un ámbito de aplicación más restringida, si así lo exige su correcta definición respecto de un isomorfismo empírico ya dado; 5) Cuantificadores monotónicos justifica los procesos de cuantificación creciente o decreciente que a su vez genera la dependencia cada vez más ramificada entre el uso semántico y sintáctico de estos operadores, a fin de lograr una efectiva comprobación experimental de una hipótesis en su respectivo ámbito de aplicación; 6) Simetría y otras propiedades relacionales de los cuantificadores de tipo 1.1 (sintácticos) analiza las relaciones de simetría y asimetría que ahora se establecen entre los cuantificadores muchos y pocos, o entre los diversos usos aceptables o inaceptables del uso restrictivo del existencial “este”, a fin de conservar la extensión otorgada a un determinado operador cuantificacional a partir de la componibilidad analítica que mantienen con el resto de los operadores; 7) Los cuantificadores posesivos analiza este procedimiento habitualmente seguido para determinar la aplicación de un operador cuantitativo mediante el recurso a la relación de poseedor, otorgándole una mayor capacidad de intercambiabilidad o equivalencia, aunque sea a costa de disminuir su isomorfismo y monotonicidad respecto a la correspondiente base empírica; 8) Cuantificadores exceptivos contrapone este segundo procedimiento habitualmente seguido para restringir la aplicación de un operador cuantificador  respecto de la fijación de las condiciones meramente negativas, que más que excluir casos particulares pretenden caracterizar el uso dado a un operador de este tipo. Se distinguen una versión débil y otra fuerte, según el grado de ganancia que obtengan de isomorfismo, a costa de perder en intercambiabilidad; 9) ¿Qué cuantificadores son lógicos?, contrapone el isomorfismo de los cuantificadores semánticos respecto de la intercambiabilidad exigida a los operadores sintácticos, así como a los conectivos y constantes lógicas; 10) Algunos cuantificadores poliádicos del lenguaje natural analiza diversos procesos de reasunción, ramificación y reciprocidad entre operadores híbridos que a su vez dan lugar a procesos de cuantificación aún más complejos;

c) Comienzo de una teoría de la expresividad, la traslación y la formalización aplica la teoría de modelos a la revisión de algunos presupuestos del supervaloracionismo epistemológico a la hora de enjuiciar las situaciones de incertidumbre y vaguedad, con dos objetivos: 11) El concepto de expresividad comprueba las condiciones exigidas a los procesos de traslación de formulas bien formadas, con especial referencia a las nociones de finito e infinito, a fin de poder justificar los presupuestos que hacen posible su equivalencia e identidad; 12) La formalización: expresividad, definibilidad, componibilidad justifica los límites pragmáticos de la equivalencia lógica o analítica respecto de la equivalencia semántica, prolongando algunas sugerencias del supervaloracionismo epistemológico de Williamson o Serensen, con el que sin embargo discrepa (p. 420). Se justifican así los distintos mecanismos de traslación analítica componible mediante el procedimiento pragmático de los mapas conceptuales, contraponiéndolos a otras formas de definición y de reglas de formación semántica;

d) Resultados lógicos sobre la expresabilidad con aplicaciones lingüísticas, justifica diversos criterios pragmáticos para resolver los tres problemas más acuciantes planteados por el supervaloracionismo epistemológico a la hora de abordar las situaciones  de incertidumbre, las asimetrías y la vaguedad de las respectivas ámbitos de aplicación de estos operadores cuentificacionales: 13) La definibilidad y la indefinibilidad en un lenguaje lógico: instrumentos para los casos monádicos, justifica el criterio pragmático básico para declarar que un operador cuantitativo es definible o no, mediante las ya mencionadas técnicas semánticas y sintácticas de Ehrenfeucht-Fraïsse. Un operador cuantificacional garantiza su definibilidad si se posee un procedimiento capaz de comprobar en un caso empírico concreto el estricto isomorfismo que debe mantener con su respectiva base de aplicación, así como la conservación de las subsiguientes relaciones de equivalencia en los sucesivos niveles de lenguaje objeto o de metalenguaje en que pueda expresarse, declarándole indefinible en caso contrario; 14) Aplicaciones de la definibilidad monádica fomenta un uso pragmático de los criterios estrictos de bivalencia y analiticidad del supervaloracionismo epistémico para compatibilizar las anteriores pruebas de indefinibilidad con la existencia de diversos grados de expresividad y de monotonicidad y probar así su respectiva definibilidad; 15) Prueba EF (de la indefinibidad) de los cuantificadores poliádicos, recurre a las técnicas de Ehrenfeucht-Fraïsse (EF) para mostrar cuando los operadores cuantificacionales son definibles y cuando no, así como para mostrar sus respectivos grados de expresividad y de monotonicidad.

Para concluir una reflexión crítica. Peters y Westerstähl tratan de justificar la doble indefinición de los operadores cuantificadores de primer y segundo orden, mostrando a su vez como son recíprocamente componibles entre sí en el marco de una teoría de modelos aún más abierta. Sin embargo ahora se reconoce la incapacidad de fijar un procedimiento de cuantificación verdaderamente bisimil respecto de la correspondiente base empírica, que a su vez sea capaz de garantizar una efectiva intercambiabilidad y equivalencia de este tipo de operadores cuantificacionales en las totalidad de los mundos posibles.  Más bien se reconoce que sólo se puede garantizar un tipo de cuasi-equivalencia y de semi-similitud, que en su caso quedaría restringida a un determinado ámbito de aplicación, sin poderla ya extrapolar a todos los mundos posibles, como en principio pretendería el lenguaje natural verdaderamente tal. Con este fin se fomenta más bien un uso pragmático de este tipo de cuantificadores, sustituyendo la equivalencia por unas simples relaciones de cuasi-equivalencia, y la bisimilitud por unas simples relaciones de semi-similitud, dejando a su vez como una simple cuestión abierta un gran número de cuestiones tradicionalmente consideradas decisivas. Por ejemplo, la caracterización o no de este  tipo de operadores como unos principios ‘a priori’, analíticos, o estrictamente sincategoremáticos. Evidentemente un uso pragmático de este tipo de operadores permite evitar un rechazo injustificado de aquellos casos límite (bordeline) que no respetan el principio de bivalencia, como con frecuencia ha sido objetado por el supervaloracionismo epistemológico más estricto, como es el caso de Williamson o Sorensen. Sin embargo una vez que se ha hecho esta opción, ¿no habría que reconocer las situaciones de doble indefinición intencional y extensional ahora generadas por esta relaciones de cuasi-equivalencia y de semi-similitud, tanto respecto de la lógica de predicados de primer como respecto de los de segundo orden,  según se otorgue una primacía a los criterios de bisimilitud utilizados por el lenguaje objeto, o a los criterios de equivalencia e intercambiabilidad del metalenguaje, sin que tampoco en estas circunstancias sea posible establecer entre ellos una articulación composible verdaderamente satisfactoria? En cualquier caso el procedimiento ahora utilizado para delimitar las clases o conceptos plantea el problema de la doble vaguedad de los conceptos así relacionados, aunque se trata de un problema que ahora tampoco se ha analizado.

Carlos Ortiz de Landázuri

blog_tags(‘post’, ‘Inciarte_Llano_Metafisica_final_metafisica.html’, ‘INCIARTE, F.-LLANO, A., Metafísica tras el final de la metafísica, Ediciones cristiandad, Madrid 2007; 381 pp.’)

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